我看这个句子结构很简单。
1. as one of them put it 相当于as one of them said, as someone put it 是习惯搭配,请看麦克米伦词典的解释:
词典例句: 在你的句子中,可以看作一个状语从句作插入语。as one of them put it 'ate like kings', 这里的it后应该漏印了个逗号。it这里指后面提到的话,但这是一种习惯用法,一般不必分析it的作用,记住这样用即可。 我给你看一个类似结构的外刊例句:
2.你句中的put当然是过去时了,如果现在时,要主谓一致,put要加s, 即puts. 这个道理也太简单了。
3. 你的句子用了引号,应该指这是其中一个人说的原话,一种直接引语。如果不强调原话或暗示其他含义(如在有些语境也表示非事实,汉语中有时引号也有这样用法,如:这个问题“很难”吗?),也可以不用引号。请看外刊例句:
4. ate like kings 的主语是they. 没有省略什么。这个道理犹如:He got up and walked away. 难道walked away 也理解为前面省略了什么?
你提到的网上搜索的“非限制性定语从句,as 指代 '(We) ate like kings' ” 我看是画蛇添足,理解为插入语很简单,也是正确的。