At the time, the Germans occupied the port city of Qingdao in Shandong, their one and only prize colony in East Asia since 1898.
在本句中prize的意思是:珍贵的。请看《剑桥词典》释义:
所以, one and only prize colony 的意思是唯一珍贵的殖民地。
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参考译文:在当时德国人占领了山东的港口城市青岛,这是他们自1898年以来在东亚唯一的宝贵殖民地。
备注:prize colony=宝贵殖民地