如果你不太讲究遣词造句的话，二者基本可以互换。如果要细究二者之间微妙的区别，就只能从情感（emotion）方面入手。结合你信中提问，要分两个方面来看：

1. 作为短语动词（视为不可分割的整体）

cling on 和 hang on 都有“坚持”之类的引申义，但表达的情感是不一样的。动词cling虽然是“紧紧抓住”的含义，但“紧紧抓住”是你的手段而不是目的，你的目的是不希望分离/分开/坠落/跌落。你之所以抓紧，是因为你缺乏安全感，“don't feel safe”才是你的重心，所以cling on引申出来的“坚持”，往往带点点“绝望（desperate）”的感觉。你字典摘录的例句：Other business cling on and hope，......坚持着并希望着。虽然没有上下文，但cling on 已暗示该business多半处于困境、绝境之中，他们只不过是在绝望中坚守以求希望而已。

短语动词hang on 则不同，动词hang本意悬挂，重点是“脚不沾地”、“可以随意摆动”，只要顶端的固定点不出问题，就根本不用担心“脚会落地”的问题，一切都在掌控之中！如果说 cling on 是 in a desperate way，那么hang on 引申出的“坚持”，则是 in a controlled way，可掌控，只要能坚持，就能获得最后胜利。正因为可掌控，所以 hang on 可以有 hold on （= wait a minute）等等/打住/停住之类的含义。hang on 为什么说停就能停，因为能够掌控。为什么cling on 就没有此类意思？因为你基本绝望，做事自然没那么随心所欲，哈哈。

2. 作为普通词组

cling on既可以作为短语动词，又可以作为普通词组。前者视为整体（on不可更改），“坚持”之意；而后者为紧紧抓住之意，其后的on，可以根据所接的名词，更换不同的介词，如cling to，cling on，cling at 等等。所以作为短语动词，cling on 和 cling to 不是同义词，但作为普通词组，cling on 和 cling to可以是同义词。

一家之言，仅供参考；

勤查英英，必有所获！