这三个词语，是同义词，有时可以互换使用。但还是有些细微的差别：

1. simultaneously 是方式副词，说明两个动作联动发生：

The game will be broadcast simultaneously on TV and radio.

比赛将同时在电视和广播中进行转播。

《牛津高阶英汉双解词典》

2. meanwhile 是连接副词，说明在一个动作发生过程中，另一个动作发生：

Please find a taxi, and meanwhile I'll pack some food.

请叫辆出租车，趁这功夫我包上些食物。

3. at the same time 是副词性介词短语。表示：

1. 两个不同的事件同时存在；

2. 同一个事件在同一个时间发生

I was afraid of her, but at the same time I really liked her

我害怕她，但同时也确实喜欢她。

She woke every morning at the same time.

她每天早上都在同一时间醒来。