你在考虑这些问题的时候犯了一个严重错误：你不是根据英语动词本身的用法考虑句子结构，而是用汉语思维去考虑。比如你觉得medicine作cure的逻辑主语不符合逻辑。那么你看看词典释义和例句：To cause to be free of a disease or unhealthy condition: medicine that cured the patient of gout. 这里cure的主语就是指代medicine的关系代词that。所以，你必须根据英语动词的英英释义去理解动词的语义，并由此判断一个动词的逻辑主语问题，而不能用汉语思维。

另外，一个句子中的某个结构确实在不同的语境中可能发挥不同的句法功能，因而句子意义也有所不同。例如及物动词+宾语+介词短语或非谓语动词，句末的介词短语或非谓语动词有可能是后置定语、宾语补足语或状语。你不能脱离语境而孤立地去分析。例如：

I found the key under the bed. 这个句子在不同的语境中可能表达不同的意思，介词短语的句法功能也不相同。比如，你很久前丢了一把钥匙，然后你忘记了这事。后来某天你钻到床底下找别的东西，无意中发现者原来那把钥匙就在床底下。汉语翻译为：我发现钥匙就在床底下。此时，under the bed 为宾语补足语。found的意思等同于saw。后来你老婆问你在哪找到这把钥匙的，你说了这句话，翻译为：我是在床底下找到这把钥匙的。此时under the bed是地点状语。found的意思为找到。换一个语境，老婆把三把钥匙藏在不同的地方让你找，你找到了其中的一把。那一把？你的回答是，我找到的是床底下的那把。此时under the bed 为定语。

你的句子 I need some medicine to cure my cough. 这个句子在不同的语境中也可能做出不同的分析。例如你走进药店，对药剂师说这句话，你显然是要买药，买能治疗咳嗽的药。所以这个语境中的不定式就是定语，被修饰名词与不定式为逻辑主谓关系（medicine可以是cure的语法主语）。换一个语境：你感冒咳嗽，准备吃几片药，你刚懂事的儿子问你：Why are you taking those white things? 你回答了这句话：我需要药物治疗我的咳嗽。此时need后接复合宾语，不定式作宾补。由于need是静态动词，表示主语所处的状语。一个状态的存在是没有目的的，所以这个句子中的不定式不宜分析为目的状语。

I took home a big box to put my son's toys in. 这个句子中的不定式既可以分析为后置定语，也可以分析为目的状语（《剑桥英语语法》认为，作目的状语的不定式可以是悬空不定式）。

所以，你应该知道有时候不同语境中，同一个结构有可能作不同的成分，你需要根据上下文语境做出符合逻辑的分析判断。在没有上下文的情况下，应该意识到句子可能存在歧义。通常按照最简单直接的意义去理解。

This is the key to open the front door. 这个句子中的to open确实是在说废话，是中式思维。没有分析必要。改为to 介词短语作定语。

最后记住一点，学语法的目的不是为了分析句子，而是准确例句英语结构和意义，当一个结构分析为定语或目的状语对理解句义没有多少区别的时候，就没有必要去费心机去纠结。要做语法的主人，而不是语法的奴隶。