But now, I realize (that) anything I do can make things better. （正）

But now, I realize (that) whatever I do can make things better. （正）

But now, I realize (that) any I do can make things better.（误）

三个宾语从句分析：

1. anything I do can make things better：

I do 是 anything 的定语从句。

2. whatever I do can make things better： 

whatever I do 是名词性关系分句（简称名词性从句），whatever 身兼两职，what 等于 anything that。

但是，anything I do 和 whatever I do 的区别是：前者可省略 I do，省略后语法仍然正确。后者不可以，因为名词性分句必须有“主谓成分”。

3. any I do can make things better （误）

any 可以用作代词或量词，但是，它的词义（指人或指物）需要有上下文支持，或者用 of 表明它指人还是指物。例如：

There is a lot of work, but I can't do any.

I can do any of the things.

You will make friends with any of the boys.

就是说，any 指代人或物，必须有语境，否则不能单独使用。

如果原句改为 But now, I realize (that) any of the things I do can make things better. 就可以了。