He blamed President for causing the migrant crisis that's seeing large numbers of people flee into neighboring countries.

不存在过去指责导致了现在结果的问题！

blamed 指过去一次性的动作；causing 其实是早于blamed 的“完成动作”，用 having caused 也可；而同位语从句指“移民危机” 现在仍然在发生。时态不矛盾，可以放在一个大句子（复合句）中。