I would rather have gone to the theater than stayed home last night.

本句，用过去时 stayed 是正确的。

主句用 would rather + 完成体，是对过去情况的虚拟用法。would rather have gone 的意思指昨晚“但愿、宁可去看戏”，但实际情况是没有去。这里表示一种后悔惋惜。句子等于说：

I didn't go to the theater, but stayed home last night. 

这说明：than 后面的动词时态，与主句一致。didin't go —— stayed，所以，使用过去时。