“度过你的业余时间”是 enjoy 的宾语，不是目的状语。 enjoy 后面可以用动名词（不能用动词不定式）作宾语所以：

     Which do you enjoy  _to spend_your spare time__, playing cards at home or taking a walk in the park?  (spend)（错误）

     Which do you enjoy _spending _your spare time__, playing cards at home or taking a walk in the park?  (spend) （正确）

Which do you enjoy (spend) your spare time, playing cards at home or taking a walk in the park?

出此题的人心目中有一句汉语：你喜欢做什么来度过你的也与时间，在家打牌还是在公园散步。出题人期待学生填不定式spend 作目的状语。which 为enjoy的宾语，后面并列的动名词短语为which 的同位语。表面上看，这个句子结构似乎没有错。但实际上这是一个错句。出题人对enjoy的语义不够了解。

enjoy在此的意思是：to get pleasure from something 享受…的乐趣；喜爱；欣赏。

一个人从做某事中感到了乐趣，这是一种感受，是不可能有目的的。我们从不会看到enjoy作谓语会带有一个目的状语的句子。所以这个句子是个逻辑错误，是由对enjoy这个动词语义的误解导致的。这个句子可改正如下：

Which do you enjoy doing at your spare time, playing cards at home or taking a walk in the park? which为doing的宾语，后面的动名词短语为对doing which的补充说明。出题人可以让学生在to play/playing, to take/taking之间做选择。