face down 本是名词+副词构成的独立主格结构，长期作状语用而逐渐演变成了复合副词，在本句中作现在分词lying的方式状语。lying+方式状语face down+地点状语on my desk 构成现在分词短语，作感官动词saw的宾语补足语。

网友的下述改动是错误的：

I saw my paper facing down and lying  on my desk.

网友误将face理解为动词了。动词face意为面对，face down仅表示正面对着下方，但却不接触，即悬在空中，这与lying on my desk的on表示接触是矛盾的。

而独立主格结构face down中face为名词，意为正面，down表示在下方，正面朝下，放在书桌上，与lying on my desk并不矛盾。