如果是遇到考试，你选B，更保险（因为有时不用while加进行时会产生歧义，有时会产生对比概念而非时间概念）。但是，如果是进行探讨，本题中A与B的效果是一样的，同样正确。虽然其它老师已经解释了选B的理由，但我依然保留我的看法。

请看下面来自于母语为英文的英文网站的文章里的例句。

1）I like to laugh and tell jokes while I cook.

2）I love to give pieces of various foods to my dog while I cook.

3）What happens to your memories while you sleep?

4）Donate to us for free while you shop online.

所有例句中，while从句加一般时表示一个长动作，而主句是这个长动作时间段内发生的一个短动作。所有以上例句的原理和你提问的句子是一样的。

可以看到，当你泛泛而谈一件事时（比如一件习惯性的事件，常规性的事件），如果从句谓语动词能够表达延续概念，那么就算主句动作是个短动作，从句也完全可以用一般现在时。这也恰好符合一般现在时作为一种表达习惯性常规性事件的特点。

你例句的事件并非特指事件，也是泛泛而谈的一般性事件，而climb可以延续，所以用climb是完全可以的。