网友断句有误。这个句子实际是，动名词复合结构作of 的宾语。然后，介词短语of him doing exciting things 作 photos 的定语。句子成分分析如下：

We （主语）take （谓语动词）photos （宾语）of him doing exciting things（介词短语作photos 的定语）. 

注意：在of 介词短语中， him doing exciting things 为动名词复合结构，作介词宾语。him 是动名词的逻辑主语。

及物动词或介词后，常跟动名词复合结构作宾语。又如：

1. This is a picture of some children playing on the sports ground.

some children playing on the sports ground 是动名词复合结构，或者说是，带有逻辑主语的动名词短语，作of 的宾语。

2. I have this vivid memory of them taking her to clean her off when she was born.

本句，them taking her to clean her off是“动名词的复合结构”，作介词of 的宾语，而介词短语of them taking her to clean her off 作 memory 的定语。

3. He painted a picture of a lady sitting with her hands folded.  

这里，of her sitting with her hands folded 是动名词复合结构，作picture 的定语，描述picture 的样子。

4. I will tell you a story of a thief stealing a lady’s purse.

我要给你讲一个小偷盗窃女人钱包的故事。

5. The novel is about three sisters growing up. 

这部小说是关于三姐妹如何长大的。

6. Can you hear the noise of the sofa being dragged? 

你能听见沙发被拖动的声音吗？

7. Have you heard of women playing football? 

你听说过女的踢足球吗？