当born作形容词表示“天生的，生来就.....的”的意义时，常用来作前置定语，偶尔作后置定语。葛传槼《英语惯用法词典》（2012年版，P.84）有如下说明：

3.下面三句的意思都是“他是天生的演说家”：

He was born an orator.

He is a born orator.

He is an orator born.

说明：第一句用过去时态，an orator作主语补足语。第二句born作前置定语较常见。第三句born作后置定语较少见。

至于She was born a singer，你的理解是对的，a singer是主语补足语。