网友的两个句子书写有误或大小写不规范，重写如下：

① We are looking forward to the expert's  coming to give us a leture. 

② Her coming to help encourage all of us. 

首先明确：划线部分都是“动名词复合结构”，即：带有逻辑主语的动名词短语。

第一个问题：

在①中的第二个to 后面的成分是不定式，作coming 的目的状语。

第二个问题：

在②中的to help，仍然是coming 的目的状语。help是动词，不是名词。“动名词复合结构” Her coming to help 做句子的主语。

通过网友对问题的两个问法，看得出一些基本概念没有弄清或掌握。

在①中的第二个to是不定式宾语补足语？ 

——不定式作宾语补足语，to 前应该有宾语。如：Ask him to give us a leture.  没有宾语，哪来的宾语补足语？

在②中的to 是逻辑主语的介词 ，help为名词 然后 her coming to help 做主语？

——to help，这里to 不是介词，而是不定式符号。另外，介词不属于主语的，介词是一类“过渡词”，其“中介作用”。关于help 是动词还是名词，注意区别：

come to help：动词

come to his help：名词