1）It is really strange that I should see you here (should含有竟然的意思）

本句的should表示不可思议、难以置信的感情色彩，翻译为”居然、竟然“。传统语法将should的这种用法归为虚拟语气的范畴。如果不用should，则that从句根据具体情况采用适当的时态形式，本句用一般现在时。此时，就没有感情色彩，而是平铺直叙事实。

2) He suggested that the meeting should be put off.

should do为动词原型式虚拟语气的替代式，为英国英语非正式语体形式。should在此没有特殊语义，与使用动词原型式虚拟语气意义相同。

3) I should say it would be better to stay here if you asked me ?

曾几何时，语法书在讲将来时态的形式时，会说第一人称用 I/we shall do, 第二、三人称用will do. 这是英国英语。美国英语则部分人称，一律用will do. 过去将来时should/would do的区别用将来时相同。但现在的语法书通常只讲美式用法，因为现在美式用法更为常见。

该句中，if从句谓语asked me提示这是虚拟语气，表示与事实相反的假设，所以主句也需要用should/wouuld do形式表示虚拟语气。第一人称用should do为英式用法。美式用法不分人称，一律用would。

it would be better to stay here中，would为情态动词的推测性用法。用would而不用will, 说话人给自己留有余地，显得更为礼貌。should通常不用于对将来情况进行推测，故这里不应该用should. would的这种用法语法书不认为是虚拟语气。

4) Why should I go ？

这句中的should不是虚拟语气。should在此为表示责任、义务的情态动词。美式和英式英语在这一点上用法相同。所以不能改为 would.

建议网友找一本语法书，将其中情态动词用法逐个阅读，体会不同场合下情态动词的含义。