The special relationship of friendship is based on what the French value most — on the mind, on having the same of outlook, on vivid awareness of some chosen area of life.

【翻译】友谊的特殊关系建立在法国人最看重的事物之上 --- 建立在思想上，建立在具有相同观念上，建立在对生活某些特定领域的鲜明认识上。

1. 后面的3个on 短语，都是承前省略了 is based，是针对 what the French value most 的内容进行列举。

2. 我认为， the same of outlook 中，of 是多余的，应删掉（网友再核查一下）。on having the same outlook ：建立在具有相同观念上。