on the river究竟表示“在河上”还是“在河畔”要根据语境或句子的意义来判断。如：

The small boat is rocking on the river. 小船在江面上晃荡。《现代汉英综合大词典》

Ships raced along on the river. 船只在河上疾驶而过。《现代汉英综合大词典》

The capital is located on the river. 首都位于河畔. 《简明英汉词典》

He visited relatives at their summer house on the river. 他拜访了住在河畔避暑别墅的亲戚。《柯林斯高级英语学习词典》

1、2句根据“小船晃荡”和“轮船疾驶而过”可知句中的on the river是“在河上”；3、4句根据“首都”和“避暑别墅”可知，它们不可能“在河上”，故on theriver是“在河畔”。