with a lump of cold lead in my chest and a big resolution growing through me.

这是两个“with 复合结构”。

第一个的结构：with  + 名词 + 介词短语

第二个的结构：with  + 名词 + 现在分词短语

a big resolution growing through me：一个重大决定正在我脑海中形成。

由于逻辑主语是a big resolution，我们可以转化为一个完整的单句：

A big resolution was growing through me.

介词through 的本义就是“穿过；经过；通过”，me 理解为my mind，因为主语是“重大决定”，这需要通过大脑思考才会形成的。