关于现在分词短语seeking the American Dream 的语法作用，我认为：

一、首先，排除作定语的可能性，因为现在分词短语作定语，应放在被修饰词之后，紧挨着，不分隔。

二、现在分词能否作目的状语，一直有争论。因为，它远没有动词不定式表目的时那么明显。其实，非谓语动词的语法作用（即：在句中所作的成分），都是通过表意功能判断出来的。从表意上看，现在分词即便看作目的状语，也往往带有伴随性。多放于句末，有时用逗号隔开，表示停顿。如果改为不定式明确表目的，反而不合适。我觉得，应该这样表述：现在分词作带有目的性的伴随状语。你的这个句子便是这一类。又如：

Many young farmers hunted around from city to city, hoping to get good jobs.

许多年轻的农民从一个城市到另一个城市，希望得到好工作。

The secretary worked late into night, preparing a report for the manager.

秘书为了给经理准备一个报告而工作到深夜。

She kept it a secret, trying not to lose her job.

她对此保守秘密，尽量别丢掉工作。