这个句子语法没什么可分析的。主要是stick的语义。如果给某人起了一个名字或外号，这个名字或外号被人们接受或使用，the name sticks.

it当然指的是Quasi这个名字。but it stuck.意为“但这个名字就这么叫了下来。”

I knew I wasn’t helping the situation by naming her Quasi, but it stuck

I：主语

knew：谓语

I wasn't helping the situation by naming her Quasi: 宾语从句

but：并列连词

It：主语

stuck： 谓语

译文：

我知道给她取名夸西起不了多大作用，但夸西这个名词却叫了下来。

回答追加问题：

When teens got into fights , violence increased among their friends’friends, and in the friends of those people too-up to four people away from the original teen.

When teens got into fights:时间状语从句

violence: 主语

increased: 谓语

among their friends’friends, and in the friends of those people too： 并列的两个介词短语作范围状语

-up to four people away from the original teen： 介词短语作补充性状语

译文：

当年轻人打架的时候，暴力因素在他们的朋友的朋友中间以及后者的朋友中蔓延，波及到与最初涉事年轻人隔四层关系的人。

回复刘老师

请参读《麦克米伦英语词典》动词stick第六条解释和例句

[INTRANSITIVE] if a new name for someone or something sticks, it becomes accepted and used by everyone

He’d been called ‘Tufty’ at school, and the name had stuck.