by which应为with which。ten dollar能干什么？这个句子问题很多。造句人的水平很有限。地震后表示愿意帮助的国家不止一个吧。改为复数较好。

with which to help叫紧缩定语从句。即定语从句压缩成了一个不定式短语。其结构是介词+which+to do. 当一个定于从句的主语在句中已经出现（通常是主句的主语）并且从句的谓语含有情态动词，谓语动作是还没有发生的事情，关系代词是从句中的介词宾语。这是就可以省去主语和情态动词，不定式的to还原，就成了不定式结构作定语了。因为它是由定语从句压缩而来，所有有的语法书称其为紧缩定语从句。或叫介词+which+不定式结构也可以。这个句子如果还原成定语从句结构则为：

The countries nearby promised to offer ten million dollars with which they will help those who had become homeless in the earthquake.