The children came running to meet their parents.

这个句子中的running和to meet their parents都是状语。现在分词是方式状语，不定式是目的状语。现在分词在句子中做成分，分词的动词必须和谓语动作有时间上的同时性，即run和come有同时性。不定式的动作是谓语动词动作之后的事件，还没有发生。

假如你改为came to run。那是什么逻辑？来的目的是为了跑？所以不可以用to run。

came meeting their parents意味着came的同时和父母见面，也不合逻辑。同样是错的。

学习非谓语动词一定要理解非谓语动词相对于谓语动词的时间关系。