up 在这里是副词，和bite 连用，表示强调，一般包含两种意思。1. up=entirely. 美国字典的例句：The lion ate up the zebra very quickly. 2. up =apart， into pieces: 剑桥字典例句：He cut the letter up into a hundred pieces. 

    网友例句中的bite up 包含了这两个意思。这句的中文意思是：我如何才能不让我家的狗把家具给咬坏了？

    当然，如果不表示某种强调，up 可以不用。如：Here are some tips to stop your dog biting the furniture.(出自国外英文网站）