First, there may be a brief cessation or reduction of breathing when falling asleep as the sleeper waxes and wanes between sleep and wakefulness and their differing control mechanisms. “and their differing control mechanisms” 

and 前面并列的内容是什么？这部分在句子中做什么成分？原因状语吗？

回答如下：

【参考译文】首先，当在入睡时可能会出现有短暂中断或者减弱，因为睡眠者还在睡眠和醒之间进行波动以及他们不同生理控制机制.

句子语法结构分析如下：

状语：first(首先）

存在有句型引导词：There（无意义）

谓语：may be（也许有/可能有）

主语：a brief of cessation or reduction of breathing（一个短暂中断和减弱）

状语：when falling asleep（当在入睡时）

状语：as the sleeper waxes and wanes between sleep and wakefulness and their differing control mechanism

重点单词及短语解释如下：

【1】cessation停止，休止，中断

【2】reduction 减少；减弱；降低；缩小

【3】brief  简短的；短暂的

【4】breathing 呼吸；吸；呼

【5】sleeper 睡觉者

【6】a brief of cessation 一个短暂的中断

【7】or reduction of breathing 一个呼吸减弱

【8】fall asleep 入睡; 睡着;

【9】waxes and wanes 兴衰;盛衰;盈亏圆缺;渐强和渐弱

【10】between A and B    

【10】differing controll mechanism 不同的生理控制机制

【备注：不同生理控制机制即：不同的睡眠生理机制和不同的醒着生理机制。】

A=sleep

B:wakefulness

C:their differing controll mechanism

ABC这三者属于并列关系