Foreign nationals have begun leaving because of a sharp rise in violence.  

因为暴力活动的急剧增加，外国人已经开始离开这个国家。

语法结构分析如下：

主语：foreign natinals（外国公民；外国人）

谓语：have begun （开始）

宾语：leaving （离开）

状语：because of a sharp rise in voilence（因为暴力活动的急剧增加）

begin doing 和 begin to do 是一样的吗？

回答如下：以上2种表达区别不是太大，但是也有一些细微差别

【1】sb begin doing sth 强调主语在说这句话的时候，doing sth所表示动作已经发生了，且正在进行了，处于一种动作正在发生的状态之中。

【2】sb begin to do sth 强调主语在说这句话的时候，to do sth 所表示动作还没有发生，是将会发生，是处于一种要将发生的动作状态。

以上数是这2中表达结构最大区别，还有以下几种区别

（begin to do sth 主要具备以下几个特点）

【1】表示某事使打算做，准备做，但是又还没有开始做一种状态。

【2】表示一种心里活动的动作。

【3】当begin本身就现在进行时态的时候，需要用to do。

【4】当非人作主语，且动作还没有发生，用to do。

（begin doing sth 主要具备以下几个特点）

【1】表示讲话的时候这个动作已经发生了且处于一种进行过程过。

【2】表示一种长期获得或者开始一种习惯。

【3】用来描述过去某个时间已经开始做了某事时用doing。

【4】动名词表示一种泛指或者已经发生的动作，动词不定式表一种特指或者特定将要发生动作。

我们再看这个句子，从句子说表达意思来看，开始后面这个离开这个动作，很显然，已经发生了，且这个动作也是正在进行之中，因此用动名词作宾语更能表达句子意思。

希望我的讲解，你能明白且能帮助到你，如果有疑问，请继续追问，如果满意，请采纳，谢谢！