There exist 还是There exists，取决于后面主语的单复数。这实际是个完全倒装语序，exist是谓语动词，后面的名词是主语。There 起引导作用，本身无意义。

观察你的两个例句，是否符合上述规则：

There exists some new problems such as being dishonest.（误）

There exist some new problems such as being dishonest.（正）

其实，英语中这种用法没有什么奇怪的。不单是exist，其他一些静态动词，如stand, sit, lie, live 都可以这样用。例如：

第一组：

1. There lives a big family in a village. 

村里住着一个大户人家。

2. Near the Florida Peninsula, there live lots of dolphins. 

佛罗里达半岛附近省份生活着很多海豚。

第二组：

1. There lies a small town at the foot of the mountain. 

山脚下有一个小镇。

2. In the southwest frontiers of China there lie many luxuriant forests where live a great variety of plants and animals. 

在祖国西南边陲，有着许多茂密的大森林，里面有着各种各样的植物和动物。

第三组：

1. There stands a man-made hill near the lake. 
在湖边有一座假山。
2. There stand two stone lions at the entrance of the yard. 
院门口放着两头石狮子。