▲句中的介词 on 与 offer 没有关系，而是与名词 guidance 有关 —— guidance 的意思是“引导，指导”，若表示“在……方面的指导”，其后通常接介词 on。又如：

I want some guidance on how to find a job. 我想请教怎样找工作。

The teacher gave the student guidance on how to pass the exam. 老师给学生进行辅导指导他们如何通过考试。

The Safety Officer provides guidance on firefighting and office safety. 安全主任提供消防和办公室安全方面的指导。

▲你的句子其实应该是这样的：

He offered guidance on their legal problems to poor black people.

为了照顾句子平衡，作者把on their legal problems 移到了句末。

▲顺便补充一下，若表示在某人的指导下，则用介词 under 或 with：

We did the experiment under our teacher’s guidance. 我们在老师的指导下做实验。

I made a dress with my mother’s guidance. 在我母亲的指导下我做了一件连衣裙。