表示“与......竞争”compete with和compete against常可互换使用，在意义上没有什么差别。例如：

compete with [against] sb. for sth.与某人竞争而获得某物《现代英汉综合大辞典》

Several companies are competing against/with each other for the contract/to gain the contract. 几家公司正为争取一项合同而互相竞争。《牛津高阶英汉双解词典》

▲如果一定要找不同点的话，弗雷德里克·托·伍德的《英语介词习语词典》上有一段说明可供你参考：

Compete也可表示hold an equal place with（与......相匹敌）的意思，而不是enter into a contest with（同......竞争）的意思。例如：We cannot hope to compete with so experienced a team.我们不能指望与经验如此丰富的一个队相匹敌。You cannot expect an amateur like me to compete with a professional like yourself你不能指望像我这样一个业余爱好者能跟你这样一个专业工作者相比。从compete一词这个意义出发，虽然我们感到自己不能指望跟某人相匹敌（to compete with a person），但我们却可以同意跟他对阵（compete against him）.

意思还是有区别，不宜互换，如果你用词比较考究的话。against这个词的“针对性”极强，比如和犯罪做斗争，逼迫某人下台等等，都是用against。所以compete against 某个人，你是把这个人当成了你的敌人/对手/眼中钉、肉中刺。总之，against sb 是对这个sb含有敌意，是一种含有敌意的竞争关系。而with的实意为together，只表示和某人一起，所以compete with sb，则意味着你对这个sb并无敌意，是一种合作中求第一的关系。简言之，你用against还是用with，视乎你内心是否把对方视为自己的敌人，你们之间是类似那种“你死我活”的零和关系，还是纯粹的对事不对人，类似体育比赛的竞争关系。

一家之言，仅供参考；

勤查英英，必有所获！

没见过 compete against 这种搭配。

compete with表示“装备有某物的，具有某特点的”。