你的句子中的 Mind if… 其实是 Do you mind if…的省略用法，意思“如果……你介意吗”，你的句子中的 bum 意思是“讨”“讨要”，全句意思是：要向你讨支烟你介意吗？

又如：

“Mind if I sit here?” he said gently. “Suit yourself.”“我坐在这儿行吗？”他轻声说。“请便。”

Mind if I take a rain check on that drink? I’ve got to work late tonight. 这杯酒你改天再请我喝好不好？今晚我要加班工作。

再如以下对话：

Tom: Mind if I smoke? 

Bill: I certainly do.

Tom: Then I’ll go outside.