感恩您的提问。
第一问
不能用不定式。前半句为状语从句，状语从句中的动词oppose与主句是同一个主语 the public, 要用现在分词形式opposing.
您说的表示目的是没错的，但是如果要用不定式就不能放在句首，可以这样The public decided to go on strike on Sunday to oppose the plan of raising price 。
第二问
Go on strike,您说的对， 这里的go 不是系动词，是行为动词。
strike 和leave 的英文释义都是 a period of time +什么什么。。。。所以他们前面是on, on strike / on leave ， 可以理解为与 On Sunday, on weekend, on May the first, on your birthday, 这样有特定含义的时间段， 一个是罢工时期，一个是休假时期嘛，您看这样理解，是不是可以呢？
另外就是看作固定搭配，死记硬背了
如同 play soccer 不加the ，但play the piano 要加the ，惯用法，球类前不加定冠词，乐器前加定冠词，也不知道语法的源头。
go on strike/ go on leave 不加a， 如同 go on a diet /a trip 等是一样，固定搭配
第三问
关于 on用法，非常多，但如果 单说 后面 加时段类的，可用单数，可用复数，很多单数是固定搭配，复数是要看情况。
比如 He often play basketball on Sundays. 用复数，表示他几乎每个周日打篮球。
固定搭配如 on leave, on holiday.
前面不一定只用be 还可以用go ，如 go on holiday/ leave。
希望能有点帮助。谢谢
