问题比较大，我只能简单的说一下思路。
1. 传统语法对于定语从句的命名本身就有问题。
“以传统语法为前提”
你这个出发点和前提就是有问题的，所以造成了后续的很多问题。你要想把术语弄更清楚，就不应该用传统语法，那个底层逻辑有问题。
（1）He says he is handsome, which is apparently not true.
后面which引导的传统叫定语从句，但它是谁的定语呢？你也说定语是修饰一个名词，但这里显然不是。正是因为这种问题造成了你很多判断的犹豫，以及最后产生“是定语还是状语”的问题。
2. 比较分句，是形式上的命名
As, than引导的这种从句在两本CGEL都叫比较分句，这是从形式上命名的。就像That从句学可以做主语，宾语，状语等一样，比较分句也能做很多成分，比较分句和状语分句不矛盾。一个分句可以同时是比较分句和状语分句。
另外，比较分析和关系分句语义是不一样的，它（基本上）只是一种比较语义，而不是共指语义。
3. 事实上，没必要纠结比较分句在句子里面的成分。
就像上面的句子（1）一样，大部分只分析到"这是一种非限制性关系分句"，并不说他在句子里面做什么成分，所以章振邦新编高级语法在前面提到过，关系分句意思上可能相当于状语或者是并列句，比如：
In 1906, however, Pierre, who was crossing a road, was run over and killed.
I told John who told his brother, and he told his wife.
（《新编高级英语语法》, 2012，第15页）
该书认为这两句里边的关系分句分别起“时间状语作用”和“相当于并列独立分句”。
但是在后面分析的时候，也不提关系分句做什么成分。因为归根到底教学语法是帮助学习者使用英语的，在这个问题上，只要知道比如，怎么选择关系词，介词可否和关系词一块前置等问题，就可以使用好这个结构了。做什么成分也就不再分析。
类似地，分析比较分析的时候，也没必要太在意做什么成分。
4. 针对你的问题，
Lisa is as much a beauty as you are.
I'm more pretty than you.
He runs faster than she.
He was as brave a man as ever lived.
I bought the same car as you bought.
剑桥语法观点是这样的，首先第1步也是最重要的一步，要能认识到，上面的黑体部分是词组，分别是名词词组，形容词词组，副词词组，名词词组，名词词组。
内部也有修饰关系，以第1个为例，as you are补足第一个as, 它们修饰much，进而as much...as you are修饰a beauty.
