introduce our club to you：正确，“把我们俱乐部的情况向你介绍一下”。也可以说 introduce you to our club，只是意思变了，是 “把你推荐给我们俱乐部”。

这段话写得很好，里面没有习惯用法和习语。

  “Chess well and study well”  不太准确，chess 是名词，用在这里不合适。根据语境，可以改为：”Play well and work hard”。 work hard 在英语里经常指努力学习。

... improve our thinking ability by playing chess.  thinking ability 比较少见，汉语更习惯这样表达，因此改为 thinking skills 或logical thinking 较为多见。主语是club 后面用play chess, 不规范，因为play chess 是人而不是club, 故将by playing chess改为：through the game of chess。

Hello, everyone! We’re very pleased to introduce our club to you. It is called Chess Club. Our slogan is “Chess well and study well”, and our club aims to improve our thinking ability by playing chess.

参考译文：大家好！我们非常高兴向你介绍一下我们俱乐部。我们俱乐部叫象棋俱乐部。我们的口号是“象棋下得好而且学习好”，我们俱乐部/致力于/旨在/目的是/通过下象棋来提高我们的思维能力。

【1】introduce A to B   把A介绍给B认识;    让A 了解B

He introduced me to a Greek girl at the party. (结构:introduce sb to sb)

他在聚会上介绍我认识了一位希腊姑娘。

The first lecture introduces students to the main topics of the course.(结构:introduce sb to sth)

第一堂课是让学生了解这门课的主要内容。

【2】aim to do sth  致力于/力争做某事

They are aiming to reduce unemployment by 50%.他们正力求使失业人数下降50%。

We aim to be there around six.我们力争六点钟左右到那里。

【3】 improve one's thinking ability by doing sth 通过做某事的方式来提高某人思维能力

He wants to improve his thinking ability by playing chess.

他想通过下象棋来提高他的思维能力。

【4】play chess 下象棋

I suggest we play chess this evening. 我提议咱们今晚下盘棋.

Mark, can you play chess?  马克, 你会下棋吗?