They don't care about anything in private domain to become public.
动词不定式 to become public,作 anything 的定语。
建议网友尽量不要使用这个模凌两可的术语 “补语”,而且,没有说明是谁的补语。这么随便一说,对分析成分、理解句子无益。
在现代语法中,“补语” 的外延仅限于“宾补”。被动句中,宾语充当了主语时,原来的宾补变成“主补”,没有其他性质的“补语”。宾补的定义是有严格要求的,不是用在宾语后的任何成分,都可以作宾补!