challenges both at home and abroad

不错，黑体部分作定语。黑体部分一个是介词短语，一个是地点副词，由both ...and 连接后，共同做定语。既然是定语就不要说 “副词性” 了，那不是自相矛盾吗？副词性意味着作状语修饰动词、形容词或副词等。

at home and abroad 和 both at home and abroad，意思相同，后者略加强调。就像：

(Both) Tom and John study hard.