1. 句子中的 the whole time 是用作状语吗？

是的，你的句子中的 the whole time 是用作状语。英语中有少数名词性短语是可以直接作作状语的。如：

He worries about her the whole time. 他一直在担心她。

I was in a state of panic and anxiety all the time. 我一直处于恐惧和焦虑状态之中。

We watch TV most evenings. 大多数晚上我们都看电视。

Karen phoned the next day to apologize for her behaviour. 卡伦第二天打电话来对她的行为表示歉意。

附：the whole time 的用法补充

the whole time 除可以用作状语外，还可以用作连词引导时间状语从句。如：

It was pouring the whole time we were there. 我们在那儿的时候，一直都下暴雨。

He talked about himself the whole time I was with him. 我和他在一起的时候，他总是讲他自己。

当然，the whole time 也可以当作名词用（比如作主语或宾语）。如：

The whole time was wasted. 所有时间都给浪费掉了。

He spent the whole time talking about himself. 他一直在谈他自己。

2. the whole time作状语是不是前面省略了介词？

可以这样理解，确实偶尔也可见到用 for the whole time, in the whole time, during the whole time 等，但事实上这样的用法在现代英语很少见。