The Smiths are praised for the way _______ they bring up their children.

首先明确：they bring up their children 是 the way 的定语从句。这是语义决定的：他们抚养孩子的方式。

既然是定语从句，以下三种表达都正确，但第一种最普通，其次是第二种，使用 that 最不普通：

the way  they bring up their children. （最简练最常用）

the way in which they bring up their children.（较普通）

the way that they bring up their children.（不普通）

你可以用来作对比，原书的说法并不“正常”。可以这样下个结论：这个空，首选是不要填，其次填 in which。填 that 较为勉强。