第一句：be ashamed of “为…….感到羞愧/惭愧”是惯用短语，其后接宾语从句what she had done today。

第二句：a better understanding of the problem是名词短语作不定式to have的宾语，如果一定要细分的话，可理解为of短语作定语修饰中心名词understanding。又如：

I have only a limited understanding of French. 我懂的法语很有限。

第二句中的 they're getting to是表示将来。