count on不及物动词+介词构成的短语动词。其意义为：

《牛津》count on somebody/something

to trust somebody to do something or to be sure that something will happen

即count on的宾语表示的事件是谓语时间之后才会发生的将来事件。

虽然count on有 count on sb doing sth, 和 count on sb to do sth 这样的用法。

后接不定式显然是宾补。但后接doing则不能分析为现在分词作宾补。因为doing的动作在谓语时间并没有发生，而现在分词作宾补不能表示将来才发生的动作。所以这里排除doing为现在分词。count on sb doing sth中，为动名词复合结构作count on的宾语。动名词表示的动作可以在谓语时间之前、同时或之后。

COCA语料库部分例句也能证明doing为动名词：

But don't count on his being idle. 

The cynic didn't count on his being this ruthless. 

当一个doing的逻辑主语既可以用属格代词，也可以用宾格代词，则这个doing为动名词。

不及物动词+介词构成的短语动词是可以后接复合宾语的。例如：

look at/listen to sb do sth. 不带to的不定式作宾补

signal to sb to do sth. 不定式作宾补。

call on sb to do sth. 不定式作宾补。