A new stream of migrants is leaving the continent.
 A new stream of emigrants is leaving the continent.

就本句而言，是可以替换的。但是，这两个词是有区别的。

migrants   移居者； 移民；候鸟；迁徙动物
emigrants   移居外国的人；移民

后者主要指“国外移民”；而前者的语义范围更广，“移民”不限于地域（本国的外国的均可），而且还扩展到“候鸟和迁徙动物”。

原句重点指“国外移民”。