一直以来有关after又一个疑问。

例如下列两句句子：

1、Having eaten his breakfast, he left the house. 该句应该是分词的完成式作状语。

然后语法书上说，若不用分词完成式，则需要添加after来明确eating和主句谓语的先后关系。可以写成：

2、After eating his breakfast, he left the house.

我的问题就是，加了after之后，虽然句意一样，但是不是eating的性质就变了。由原来的分词变为了动名词。因为after并没有像while或when或although一样的主语一致省略的用法，因此这里的after必定是个介词，那后面的doing必定是个动名词。

也就是说第1句是分词作状语，而第2句是介宾短语作状语。

不知道我的理解对吗？请各位老师指点，谢谢。