The boy is giving his explanation for why he arrived late to school.

介词后面不能接 that 从句，但接 wh-word 引导的从句很正常（包括 why 从句）。不过，介词短语不是宾语不足语。看来网友对宾语补足语的概念不清楚。

这个介词短语，可以有两种划分：

1. 作 explanation 的定语。

2. 作目的状语。

关于宾语补足语的界定问题：

宾语补足语，是补充说明宾语的。能作宾语补足语成分的，可以是名词、形容词、介词短语、不定式短语、分词短语、副词等。具体地说，有些动词除了带有宾语外，还需要另外一个成分来说明宾语的情况，以补充意义上的不足，让宾语的意义完整。这种起补充说明作用的词或短语就叫做宾语补足语。宾语和补足语之间存在着逻辑上的主谓关系，二者一起构成复合宾语。

无论何种成分作宾补，必须同时具备以下三个条件：

（1）宾语是补足语的逻辑主语，宾补对宾语起补充说明的作用。

（2）在一个完整的句子中，宾补是不可缺少的，省掉后句意就不完整。

（3）判断某个成分是否为宾补，这跟谓语动词的性质有关。

宾补是谓语动词作用于宾语的结果。如：谓语动词具有“使令”、“指使”、“影响”、“参与”宾语做某事的作用；谓语动词使宾语怎么样，成为什么，变成什么（例如：cause 类，make 类，help类）。谓语动词具有感官性能，对宾语的动作具有感知作用（see, hear, find 类），等等。