1. He then ran for Governor of New york. (目的状语。)

2. She was invited to stand as the Liberal candidate.（身份状语或方式状语）

3. We'll run a training course for the local teachers this summer.（定语）

句2，关于 as the Liberal candidate 的作用。按照薄冰教授的观点，是 she 的主语补足语。如果是主动语态：We invited her to stand as the Liberal candidate. 则是宾语补足语。——以上分析，存在明显的缺陷。

因为整个不定式作主补或宾补，as the Liberal candidate 是不定式当中的一个成分，如果仍然看作主补和宾补，属于成分重叠划分，自相矛盾。所以，排除主补或宾补。由于 as the Liberal candidate 是不定式当中的一个成分，它只能修饰不定式stand，不可能越位去修饰主语。鉴于此，我们把 as the Liberal candidate 分析为修饰 stand，表示身份的状语。

【个人观点】

一个句子的主要成分就是主语和谓语。一切修饰成分都是围绕这两大成分展开。现代语法更加关注谓语动词的 “发生、过程或结果”，当然也包括非谓语动词。比如，动词发生的时间、地点、条件、方式，原因等等。所以，分析成分时多向状语倾斜。基于这种认识，我把 as the Liberal candidate 分析为表示身份的状语。