在此句末尾处的“with values in Y”我不清楚在句中作什么成分。

对此句, 我的翻译(意译)如下（两个数学公式不好打出, 下用A和B代表）：

给定集合X与Y， 我们将使用符号 A 或 B 来表示一个定义的函数,函数对所有(任意)的x∈X，有对应的值在Y中。

我感觉with部分应该修饰and前，to后的function、defined、x中的某个，但是我依次对应翻译,

跟function是“函数有值在Y中”；

跟defined是“用值在Y中定义”；

跟x是“所有的x属于X并且这些x的值在Y中”，

以上的翻译不知是否合适，只是感觉都不适合这里的翻译。

因为数学里通常逻辑比较严谨，虽然我能理解内容，但恐漏了细节，若能解惑，不胜感激。

以下是该句的上下文,截取自《Automata，Languages and Machine》中绪论部分，全文很长，所以只能截取部分。