1.While we were setting out on a journey,it started to rain.

介词短语作目的状语。
2. Are you in Paris on business or for pleasure?

介词短语作目的状语。
3. Do you want to go out for a walk?

不定式短语to go out for a walk作目的状语，for a walk为不定式的目的状语，不是句子层次的成分。所以分析句子成分的时候不分析for a walk, 而是不定式短语作目的状语。

4. Susan has been on vacation in Thailand for a month.

介词短语作表语。

至于介词后的名词有的有冠词，有的没有冠词，是因为有的名词为可数单数名词，有的是不可数名词。这需要你多观察、留心。词典也会帮助你。多注意词典例句。