宾语补足语的使用是动词要求的，不定式是否是宾补，首先要看谓语动词是否可以后接宾补。give作为双宾语动词，give sb sth 双宾语出现后，动词的语义已经完整，不需要宾补。所以不定式肯定不是宾补。把你的句子还原成主动句：

The doctor gave him the vaccine to guard against the disease.

不定式作目的状语，不定式的逻辑主语应该是句子的主语。所以按照传统语法，不定式应该是定语，与被修饰名词为逻辑主谓关系。

但根据现代语法（夸克），也可以理解不定式为与宾语有关的目的状语（即不定式作目的状语，但其逻辑主语为宾语而不是主语）。

以上二种分析都成立。类似的例句：

I gave my son 3 dollats to buy icecream. 不定式作定语，动状关系。

或理解为in order for him to buy icecream. 不定式作与宾语有关的状语。

作为学习传统语法的学生而言，理解为不定式作定语比较简单。