finger 是“手指头”，可数名词。在句中能零冠词使用吗？改为：

cut a/one's finger on sth.

on sth. 算不上固定搭配。按字面理解即可：on 表示表面接触，意为：“接触；触到；碰到”。例如，手指碰到尖锐的物体上被划伤。

cut his finger on a sharp stone

cut his finger on a piece of glass

如果是用刀子作为工具割伤，就用 with：

cut his finger with a knife

学英语，要理解词义的细微差异，要用逻辑去思维和理解问题。不要不理解而去死记硬背，那样会非常辛苦，结果会事倍功半。