仔细推敲，汉语“不是你死就是我活”是个逻辑错误（中国人不大讲逻辑）。
不是A 就是B，意味着要么A 发生，B不发生；要么B发生，A不发生。但二人殊死搏斗，A发生（你死），B才能发生（我活）。所以，符合逻辑的表达应该是“你死我活”，而不是“不是你死就是我活”。题外话。
由于这个汉语的表达不符合逻辑，而英语是逻辑性较强的语言，所以英语不可能按照字面直译。下面是几种英文表达：
你死我活：a life or death struggle
你死我活的竞争：rat race
你死我活的战斗：fight with gloves off
拼个你死我活：shoot it out
