I have a busy life with no time to sit around feeling sorry for myself.

你这本教辅编者对什么是宾补这个概念，根本不理解，或者不懂。实际上，to sit around是 no time 的定语。我们只需分析划线部分的作用即可。

这是一个普通 with 介词短语，句子主语是to sit around 的逻辑主语。而 to sit around 作 no time 的定语， 与 no time 是“动状关系”（“动状关系” 是指，动词sit around 在 time 表示的时间里发生）。

就成分而言，with no time to sit around 是 have （= lead）的“方式状语”，或者“结果状语”，均可讲得通。