Cockroaches are the public enemy that we’re not afraid to admit that we hate them.

【翻译】蟑螂是人类的公敌，（所以）我们不怕承认我们讨厌它们。

这里，that 是从属连词，引导结果状语从句，等于 so that。

英语在向着简洁的方向发展，so that 省略 so 的用法，比较常见。可以说，直接用 that 就能引导状语从句。实际上，that 引导的从句，可以作“目的状语”、“结果状语”、“原因状语”等，这在英语中很常见。分别举例如下：

Bring it nearer that I may see it better. 把它拿近一些, 以便使我看得比较清楚。《现代英汉综合大词典》

（目的状语）

He studied hard that he finally succeeded. 他努力学习，终于成功了。（张道真《英语语法大全》）

（结果状语）

I am very delighted that you can come. 你能来，我很高兴。

（原因状语）

Take care that you don’t slip on the icy roads. 小心（目的是）不要在结冰的路上滑倒。

（目的状语）