在背单词时查阅到suffragist这个词时，下面的英英解释让我产生了语法疑问。

A suffragist is a person who is in favour of women having the right to vote, especially in societies where women are not allowed to vote. 妇女参政论者

请问老师，句中的having the right to vote整体是做什么成分呢？是做women的定语还是women的补语呢？如果是做补语的话，请问为什么要使用现在分词而不使用不定式呢？几个非谓语动词做宾补时除了从动词固定搭配出发，应该如何判断使用哪个非谓语动词呢？

另外句中的vote请问是做定语修饰right还是做状语？

十分困惑，望老师能分析一下这个句中的语法现象。